Economia e Finanza del Risparmio

Guida di studio basata su dispense (Pattitoni) ed eserciziario. Ogni sezione contiene: teoria essenziale, formule chiave, metodo di svolgimento degli esercizi e trappole tipiche dei quiz.

Indice

  1. Consumo e risparmio: concetti e misure
  2. Scelte intertemporali di consumo
  3. Markowitz e le scelte di portafoglio
  4. Sistemi pensionistici
  5. Formulario riassuntivo

1. Consumo e risparmio: concetti e misure

1.1 Prospettiva microeconomica

Prospettiva del singolo individuo / famiglia. Simboli fondamentali:

Le quattro identità di base

Reddito totale = reddito da capitale + reddito da lavoro: \(Y_t = A_{t-1}\, r + W_t\)

Reddito disponibile (reddito al netto delle imposte): \(Y_t^D = Y_t - T_t\)

Risparmio (parte del reddito disponibile non consumata): \(S_t = Y_t^D - C_t\)

Ricchezza (evolve accumulando il risparmio): \(A_t = A_{t-1} + S_t = A_{t-1}(1+r) + W_t - T_t - C_t \qquad\Longrightarrow\qquad A_t = A_0 + \sum_{\tau=1}^{t} S_\tau\)

Relazioni logiche (utili per i quiz)

Metodo per l'esercizio "tabella multi-periodo"

Dati $A_0$, $W$ costante, $r$, aliquota $\tau$, funzione di consumo $C_t = b\,Y_t^D$. Per ogni periodo, in ordine:

  1. $Y_t = A_{t-1} r + W_t$
  2. $T_t = \tau\, Y_t$
  3. $Y_t^D = Y_t - T_t$
  4. $C_t = b\, Y_t^D$
  5. $S_t = Y_t^D - C_t$
  6. $A_t = A_{t-1} + S_t$ ← diventa l'$A_{t-1}$ del periodo successivo.

Esempio numerico ($W=120$, $r=0.04$, $\tau=0.25$, $b=0.7$, $A_0=0$): $Y_1=120$, $T_1=30$, $Y_1^D=90$, $C_1=63$, $S_1=27$, $A_1=27$. Al periodo 2: $Y_2 = 27\cdot0.04 + 120 = 121.08$, e così via. Se $b$ scende (es. $0.7 \to 0.6$): il consumo diminuisce, il risparmio aumenta e quindi la ricchezza finale cresce.

1.2 Prospettiva macroeconomica

Prospettiva aggregata (un Paese). Simboli: $Y_t$ (PIL), $C_t$ (consumo privato), $I_t$ (investimenti), $G_t$ (spesa pubblica, esclusi i trasferimenti come pensioni/sussidi), $X_t$/$M_t$ (esport./import.), $T_t$ (imposte nette), $D_t$ (debito pubblico), $r$ (tasso sul debito), $g$ (crescita del PIL).

Identità contabile nazionale

\[Y_t = C_t + I_t + G_t + (X_t - M_t)\]

Saldi settoriali

\[\underbrace{Y_t - T_t - C_t - I_t}_{\text{saldo settore privato}} + \underbrace{(T_t - G_t)}_{\text{saldo primario pubblico}} = \underbrace{X_t - M_t}_{\text{saldo commerciale}}\]

Risparmio nazionale e privato

Il risparmio nazionale eguaglia investimenti interni + saldo commerciale. È l'identità da usare per le verifiche.

Dinamica del debito pubblico

\(D_t = D_{t-1}(1+r) + (G_t - T_t)\) \(Y_t = Y_{t-1}(1+g) \qquad\qquad \frac{D_t}{Y_t} = \frac{D_{t-1}(1+r) + G_t - T_t}{Y_{t-1}(1+g)}\)

Variazione del rapporto debito/PIL

\[\frac{D_t}{Y_t} - \frac{D_{t-1}}{Y_{t-1}} = \frac{(G_t - T_t) + D_{t-1}(r-g)}{Y_t}\]

Condizione di non crescita del rapporto ($\Delta(D/Y)\le 0$): \(\begin{cases} r \neq g \;\Rightarrow\; T_t - G_t \ge D_{t-1}(r-g) \\ r = g \;\Rightarrow\; T_t - G_t \ge 0 \end{cases}\)

Interpretazioni per i quiz:

Metodo per l'esercizio macro tipo

  1. Saldo primario $= T_t - G_t$ (>0 avanzo, <0 disavanzo, =0 pareggio).
  2. Risparmio privato $= Y_t - T_t - C_t$.
  3. Saldo commerciale $= X_t - M_t$.
  4. Risparmio nazionale $= S_t^{Pr} + (T_t-G_t)$; verifica $= I_t + (X_t - M_t)$.
  5. Nuovo debito $= D_{t-1}(1+r) + (G_t - T_t)$.
  6. Rapporto debito/PIL $= D_t / Y_t$; confronta con $D_{t-1}/Y_{t-1}$ per dire se cresce.

Saldo primario per obiettivi sul rapporto debito/PIL (da imporre $\Delta(D/Y) = \text{target}$):

2. Scelte intertemporali di consumo

2.1 L'equilibrio del consumatore

Scelta tra un bene generico (quantità $q$, prezzo $p$) e la spesa in tutti gli altri beni $M$. Tutto il reddito è consumato (no risparmio).

Problema d'ottimo: \(\max_{q,M}\; u(q) + u(M) \qquad \text{s.t.}\quad pq + M = Y^D, \qquad (u' > 0,\; u'' < 0)\)

Lagrangiano e condizioni del prim'ordine (necessarie e sufficienti): \(\mathcal{L} = u(q) + u(M) + \lambda(Y^D - pq - M)\) \(u'(q^\ast) = p\,u'(M^\ast), \qquad M^\ast = Y^D - p q^\ast\)

Metodo per gli esercizi (utilità additive)

  1. Scrivi $\mathcal{L} = u(q) + u(M) + \lambda(Y^D - pq - M)$.
  2. FOC: $u'(q) = p\,\lambda$, $\;u'(M) = \lambda$, $\;$ vincolo.
  3. Combina le prime due $\Rightarrow$ relazione $M = f(q)$; sostituisci nel vincolo.

Esempi risolti

  • $U=\sqrt q + \sqrt M$, $p=2$, $Y^D=100$: da $\frac{1}{2\sqrt q}=2\cdot\frac{1}{2\sqrt M}$ segue $M=4q$; $2q+4q=100 \Rightarrow q^\ast=16.67,\; M^\ast=66.67$.
  • $U=\ln q + \ln M$, $p=1$, $Y^D=20$: $M=q \Rightarrow q^\ast=M^\ast=10$.
  • $U=\sqrt q + 2\sqrt M$, $p=3$, $Y^D=100$: $M=36q$; $39q=100 \Rightarrow q^\ast\approx2.56$. Se $Y^D\to120$, $q^\ast\approx3.08$: q è un bene normale.

2.2 Teoria Keynesiana del consumo (1936)

Consumo e risparmio dipendono dal reddito disponibile corrente.

Funzione del consumo e del risparmio: \(C_t = \bar C + c\, Y_t^D \qquad\qquad S_t = Y_t^D - C_t = -\bar C + (1-c) Y_t^D\)

Note per i quiz: ridurre le imposte $\Rightarrow Y^D \uparrow \Rightarrow C \uparrow$; se $C = 8 + 0.75 Y^D$ e $\Delta Y^D = 20$ allora $\Delta C = 15$.

Metodo esercizi

2.3 Fisher e le scelte intertemporali (1930)

Il consumatore vive due periodi e sceglie $C_0, C_1$ massimizzando l'utilità intertemporale, dati redditi $Y_0, Y_1$ e tasso $r$.

Vincolo di bilancio intertemporale (valori attualizzati): \(C_0 + \frac{C_1}{1+r} = Y_0 + \frac{Y_1}{1+r} \qquad\Longleftrightarrow\qquad C_1 = \underbrace{Y_0(1+r)+Y_1}_{\text{intercetta}} - \underbrace{(1+r)}_{\text{pendenza}} C_0\)

Risparmio del primo periodo: $\;S_0 = Y_0 - C_0$. ($S_0>0$ risparmia, $S_0<0$ si indebita.)

Utilità additiva e separabile: $\;U(C_0,C_1) = u(C_0) + \beta\, u(C_1)$, con $\beta \in (0,1]$ fattore di sconto soggettivo. Ipotesi: $u'>0$, $u''<0$, $u'''>0$ (prudenza).

Condizione di Eulero (ottimalità): \(\boxed{\,u'(C_0^\ast) = (1+r)\,\beta\, u'(C_1^\ast)\,}\)

Relazione tra $r$ e $\beta$:

Condizione Risultato
$(1+r)\beta = 1$ $C_0^\ast = C_1^\ast = \dfrac{Y_0(1+r)+Y_1}{2+r}$, $\;S_0^\ast=\dfrac{Y_0-Y_1}{2+r}$
$(1+r)\beta > 1$ $u'(C_0^\ast)>u'(C_1^\ast) \Rightarrow C_0^\ast < C_1^\ast$
$(1+r)\beta < 1$ $u'(C_0^\ast)<u'(C_1^\ast) \Rightarrow C_0^\ast > C_1^\ast$

Statica comparata (segni):

Effetto reddito ed effetto sostituzione (aumento di $r$):

  Effetto reddito Effetto sostituzione Totale su $C_0$
Risparmiatore $>0$ $<0$ ambiguo
Debitore $<0$ $<0$ $<0$ (riduce $C_0$)

Reddito futuro incerto / risparmio precauzionale: se $\tilde Y_1$ ha varianza $\sigma_Y^2$, allora $\text{Var}[\tilde C_1] = \sigma_Y^2$. Con $u''' > 0$ (prudenza), un aumento di $\sigma_Y^2$ induce a consumare meno oggi e risparmiare di più (risparmio precauzionale). Approssimazione di Taylor della condizione di Eulero: \(u'(C_0^\ast) \approx \beta(1+r)\Big[u'(\mathbb E[\tilde C_1^\ast]) + \tfrac{1}{2}u'''(\mathbb E[\tilde C_1^\ast])\,\sigma_Y^2\Big]\)

Metodo esercizi (caso log e caso radice)

  1. Eulero $\Rightarrow$ relazione $C_1 = \phi\, C_0$ (con $\phi = (1+r)\beta$ per utilità log; per $U=\sqrt{C_0}+\beta\sqrt{C_1}$ si ottiene $\sqrt{C_1} = (1+r)\beta\sqrt{C_0}$, cioè $C_1 = [(1+r)\beta]^2 C_0$).
  2. Calcola il VA del reddito $= Y_0 + \frac{Y_1}{1+r}$.
  3. Sostituisci $C_1$ nel vincolo $C_0 + \frac{C_1}{1+r} = \text{VA}$ e risolvi per $C_0^\ast$, poi $C_1^\ast$.
  4. $S_0^\ast = Y_0 - C_0^\ast$.

Esempio (log): $Y_0=100$, $Y_1=120$, $r=0.2$, $\beta=1$. Eulero: $C_1 = 1.2\,C_0$. VA $=200$. $C_0 + C_0 = 200 \Rightarrow C_0^\ast=100$, $C_1^\ast=120$, $S_0^\ast=0$. Esempio (radice): $Y_0=90$, $Y_1=90$, $r=0.5$, $\beta=1$. $\sqrt{C_1}=1.5\sqrt{C_0}\Rightarrow C_1=2.25C_0$. VA $=150$. $2.5C_0=150\Rightarrow C_0^\ast=60$, $C_1^\ast=135$, $S_0^\ast=30$. Con $r=1$: $C_1=4C_0$, $C_0^\ast=45$, $S_0^\ast=45$ (più $r$ ⟹ più risparmio, si posticipa il consumo).

2.4 Modigliani — Ipotesi del ciclo di vita (1954)

Gli individui livellano il consumo lungo la vita: risparmiano durante gli anni lavorativi e decumulano durante la pensione.

Modello semplificato: vita residua $E$ periodi, di cui $L$ di lavoro (reddito $Y^D$ costante) e $E-L$ di pensione (reddito nullo); tasso $r = 0$.

Consumo annuo e risparmio: \(C_t = \frac{L\, Y^D}{E} \qquad\qquad S_t = Y_t^D - C_t, \quad\text{con } Y_t^D \in \{0,\, Y^D\}\)

Quiz: $E\uparrow$ (a parità di $L, Y^D$) $\Rightarrow C_t \downarrow$; $E\downarrow \Rightarrow C_t \uparrow$; se $L=6, E=12 \Rightarrow C_t = \frac12 Y^D$. Politiche che aumentano le pensioni attese $\Rightarrow$ consumo corrente $\uparrow$.

Esempio: $E=12$, $L=8$, $Y^D=90$. $C_t = \frac{8\cdot90}{12}=60$. Lavoro: $S=30$; pensione: $S=-60$. Fine lavoro: $A_8 = 8\cdot30 = 240$.

2.5 Friedman — Ipotesi del reddito permanente (1957)

Il consumo dipende dal reddito permanente (aspettative di lungo periodo), non dal reddito corrente.

Il reddito disponibile si scompone in permanente + transitorio: \(Y_t^D = \bar Y^D + \tilde y_t^D, \qquad \mathbb E[\tilde y_t^D] = 0\)

Consumo e risparmio: \(C_t = b\, \bar Y^D \qquad\qquad S_t = Y_t^D - C_t = (1-b)\bar Y^D + \tilde y_t^D\)

Esempio: $\bar Y^D=120$, $b=0.75$, $\tilde y_1^D=30$. $C_1 = 0.75\cdot120 = 90$; $Y_1^D = 150$; $S_1 = 60$.

2.6 Considerazioni conclusive — confronto tra teorie

Teoria Consumo Risparmio Pianificazione intertemporale
Keynes Varia col reddito disponibile corrente Residuo del reddito non consumato Non centrale
Modigliani Stabile tra le fasi di vita Trasferisce risorse tra fasi di vita Centrale
Friedman Risponde al reddito permanente Stabilizza il consumo Centrale

3. Markowitz e le scelte di portafoglio

3.1 Principi fondamentali

Obiettivo: allocare la ricchezza tra $N$ asset per massimizzare il rendimento atteso dato il rischio (o minimizzare il rischio dato il rendimento).

Singolo titolo $i$: \(r_i = \mathbb E[\tilde r_i], \qquad \sigma_i^2 = \mathbb E[(\tilde r_i - r_i)^2], \qquad \sigma_i = \sqrt{\sigma_i^2}\)

Vettori e matrici:

Leva finanziaria (norma $L^1$): $\; |x|_1 = \sum_i |x_i| = \ell$. Se $\ell = 1$ portafoglio long-only; se $\ell > 1$ ci sono posizioni corte.

Portafoglio: \(r_p = x^T r = \sum_i x_i r_i, \qquad \sigma_p^2 = x^T \Sigma x = \sum_i\sum_j x_i x_j \sigma_{ij}, \qquad \sigma_p = \sqrt{\sigma_p^2}\)

Numero di termini: con $N$ asset, $\Sigma$ ($N\times N$) contiene $N$ varianze e $\frac{N(N-1)}{2}$ covarianze distinte (nella somma della varianza compaiono $N(N-1)$ covarianze, uguali a coppie). Es. $N=20$: 20 varianze e 380 covarianze (=190 distinte).

3.2 Portafoglio di 2 titoli

\[r_p = x_1 r_1 + x_2 r_2, \qquad \sigma_p^2 = (x_1\sigma_1)^2 + (x_2\sigma_2)^2 + 2 x_1 x_2 \sigma_1\sigma_2\rho_{12}\]

Casi speciali (long-only, $\sigma_1 < \sigma_2$):

$\rho_{12} = 1$ (correlazione positiva perfetta): \(\sigma_p = x_1\sigma_1 + x_2\sigma_2 \quad(\text{media ponderata delle volatilità})\) Minimo rischio: tutto nel titolo meno rischioso, $x_1^m = 1$, $\sigma_p^m = \sigma_1$. Non si può azzerare la varianza.

$\rho_{12} = -1$ (correlazione negativa perfetta): \(\sigma_p = |x_1\sigma_1 - x_2\sigma_2|\) Si può azzerare la varianza scegliendo: \(x_1^m = \frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}, \qquad x_2^m = \frac{\sigma_1}{\sigma_1+\sigma_2} \quad\Longrightarrow\quad \sigma_p^m = 0\)

$-1 < \rho_{12} < 1$ (caso generale): i pesi di minima varianza sono \(x_1^m = \frac{\sigma_2^2 - \sigma_{12}}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\sigma_{12}}, \qquad x_2^m = 1 - x_1^m \qquad (\sigma_{12}=\rho_{12}\sigma_1\sigma_2)\)

Principio di diversificazione (chiave per i quiz):

Metodo esercizi (2 titoli)

  1. $r_p = x_1 r_1 + x_2 r_2$.
  2. $\sigma_p^2 = (x_1\sigma_1)^2 + (x_2\sigma_2)^2 + 2x_1x_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2$, poi $\sigma_p = \sqrt{\sigma_p^2}$.
  3. Minima varianza: usa la formula di $x_1^m$ (o, se $\rho=-1$, $x_1^m = \frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}$).

Esempio: $\sigma_1=0.1$, $\sigma_2=0.15$, $\rho_{12}=0.4$, $r_1=0.07$, $r_2=0.11$. Equally weighted: $r_p = 0.09$, $\sigma_p^2 = 0.0111 \Rightarrow \sigma_p = 0.1055$. Minima varianza: $x_1^m = 0.8049$, $x_2^m = 0.1951$, $\sigma_p^m = 0.0960$.

3.3 La scelta ottimale di portafoglio

Funzione di utilità media-varianza: \(U(r_p, \sigma_p^2) = r_p - \frac{\gamma}{2}\sigma_p^2 = x^T r - \frac{\gamma}{2}x^T\Sigma x, \qquad \gamma > 0 \text{ (avversione al rischio)}\)

Costanti notevoli: $\;A = r^T\Sigma^{-1}r$, $\;B = r^T\Sigma^{-1}\iota = \iota^T\Sigma^{-1}r$, $\;C = \iota^T\Sigma^{-1}\iota$.

Formulazione 1 — massimizzazione dell'utilità

\(\max_x\; x^T r - \frac{\gamma}{2}x^T\Sigma x \quad \text{s.t.}\quad x^T\iota = 1\) \(\mathcal{L} = x^T r - \frac{\gamma}{2}x^T\Sigma x + \lambda(1 - x^T\iota)\)

FOC: $\;r - \gamma\Sigma x^\ast - \lambda^\ast\iota = 0$. Soluzione: \(\lambda^\ast = \frac{B-\gamma}{C}, \qquad x^\ast = \Sigma^{-1}\!\left(\frac{1}{\gamma}r + \frac{\gamma - B}{\gamma C}\iota\right)\)

Formulazione 2 — minimizzazione della varianza con rendimento target $k$

\(\min_x\; \frac{1}{2}x^T\Sigma x \quad \text{s.t.}\quad x^T r = k,\;\; x^T\iota = 1\) \(\mathcal{L} = \frac{1}{2}x^T\Sigma x + \lambda_1(k - x^T r) + \lambda_2(1 - x^T\iota)\)

Soluzione: \(\lambda_1^\ast = \frac{Ck - B}{AC - B^2}, \qquad \lambda_2^\ast = \frac{A - Bk}{AC - B^2}, \qquad x^\ast = \Sigma^{-1}\!\left(\frac{Ck-B}{AC-B^2}r + \frac{A-Bk}{AC-B^2}\iota\right)\)

Equivalenza tra le due formulazioni

\[k = \frac{AC - B^2}{C\gamma} + \frac{B}{C} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \gamma = \frac{AC - B^2}{Ck - B}\]

Interpretazioni:

Metodo esercizio (con matrice $\Sigma$)

  1. Calcola i pesi dalle quote investite: $x_i = \frac{\text{valore}_i}{\text{totale}}$.
  2. $r_p = x^T r$.
  3. $\sigma_p^2 = x^T\Sigma x$ (svolgi la forma quadratica), poi $\sigma_p = \sqrt{\sigma_p^2}$.

Esempio: Equity 100k, Bond 50k, Commodity 50k $\Rightarrow x = (0.5,\,0.25,\,0.25)$. Con $r=(0.20,0.10,0.10)$: $r_p = 0.15$; $\sigma_p^2 = x^T\Sigma x = 0.0153 \Rightarrow \sigma_p = 0.1237$.

3.4 Costi di transazione e vincoli aggiuntivi

Con costi di transazione proporzionali alle variazioni dei pesi: \(\min_x\; \frac{1}{2}x^T\Sigma x + \theta\|\Delta x\|_1 \quad \text{s.t.}\quad x^T r = k,\;\; x^T\iota = 1\) dove $\Delta x = x - x_0$ (variazione rispetto al portafoglio precedente) e $\theta$ è il costo unitario.

Vincoli aggiuntivi tipici:

Note per i quiz:

Metodo esercizio (leva e costi)

  1. Leva: $|x|1 = \sum_i |x_i|$; verifica $|x|_1 \le \ell{\max}$.
  2. $\Delta x = x^\ast - x_0$; costo $= \theta|\Delta x|_1 = \theta\sum_i|\Delta x_i|$.
  3. (Se richiesto) $r_p = x^T r$ e $\sigma_p^2 = x^T\Sigma x$.

Esempio: $x_0=(0.3,0.3,0.2,0.1,0.1)$, $x^\ast=(0.4,0.4,0.1,0.05,0.05)$, $\theta=0.02$, $\ell_{\max}=1.5$. $|x^\ast|_1 = 1.0 < 1.5$ ✓. $\Delta x=(0.1,0.1,-0.1,-0.05,-0.05)$, $|\Delta x|_1 = 0.4$, costo $= 0.02\cdot0.4 = 0.008$.

4. Sistemi pensionistici

4.1 Aspetti definitori e tassonomici

Sistema pensionistico: istituzione che definisce finanziamento e calcolo delle prestazioni pensionistiche a favore delle generazioni non attive.

Tipi di prestazione: vecchiaia/anzianità, invalidità, reversibilità (legami familiari con deceduti), sociale (assenza di reddito oltre l'età pensionabile). (La "pensione universitaria" NON esiste — trappola dei quiz.)

I pilastri:

Pilastro Nome Descrizione
Zero Pensione sociale Pensione minima garantita, finanziata dalle tasse (assegno sociale)
Primo Pensione pubblica Sistema obbligatorio gestito dallo Stato, finanziato dai contributi (INPS)
Secondo Previdenza compl. collettiva Previdenza aziendale/collettiva, cofinanziata dai datori di lavoro (fondi pensione)
Terzo Previdenza compl. individuale Risparmio privato volontario con incentivi fiscali (PIP)
Quarto Risorse informali Fonti aggiuntive (affitto seconda casa, investimenti, supporto familiare)

4.2 Pensione pubblica

Due funzioni: (1) previdenziale/assicurativa (copre il rischio di riduzione del reddito), (2) assistenziale (garantisce un reddito minimo). Servono gestione pubblica e partecipazione obbligatoria.

Due dimensioni di funzionamento:

Modalità di finanziamento:

Metodo di calcolo:

Parametri del modello a due periodi / due generazioni: $a$ = aliquota di contribuzione, $i$ = rendimento della gestione, $r$ = tasso di mercato, $g$ = crescita del monte salariale ($g = w + n + wn$, con $w$ crescita salari e $n$ crescita popolazione), $k$ = aliquota di rendimento (parte del salario che diventa pensione).

Le quattro combinazioni — tabella riassuntiva

Sistema Condizione di equilibrio Rendimento Tasso di sostituzione Aliquota di equilibrio
Capitalizzazione + contrib. definita $i = r$ $r$ $a(1+r)$ —
Capitalizzazione + prest. definita $a = \dfrac{k}{1+r}$ $r$ $k$ $a = \dfrac{k}{1+r}$
Ripartizione + contrib. definita $i = g$ $g$ $a(1+g)$ —
Ripartizione + prest. definita $a = \dfrac{k}{1+g}$ $g$ $k$ $a = \dfrac{k}{1+g}$

Regole mnemoniche: capitalizzazione → rendimento $r$; ripartizione → rendimento $g$. Contribuzione definita → tasso di sostituzione $= a(1+\text{rend.})$; prestazione definita → tasso di sostituzione $= k$.

Tasso di sostituzione: rapporto tra la prima pensione e l'ultima retribuzione.

Effetti di transizione:

Rischi e chi colpiscono:

Rischio Descrizione
Finanziario Rendimenti degli investimenti inadeguati (colpisce soprattutto la capitalizzazione)
Salariale Salari crescono più lentamente (colpisce la ripartizione)
Demografico Cambiamenti nella struttura della popolazione (colpisce la ripartizione)
Politico Cambiamenti delle politiche pensionistiche
Inflazionistico Erosione del potere d'acquisto delle pensioni

Nei sistemi a contribuzione definita i rischi colpiscono i pensionati; nella prestazione definita colpiscono la generazione attiva. Un aumento dell'aspettativa di vita → aumento del rischio di sostenibilità.

Modello multiperiodale (contribuzione definita)

Individuo che lavora $L$ periodi e resta in pensione $E$ periodi (prima pensione in $t=0$). Si eguaglia il montante contributivo $M$ al valore attuale delle prestazioni $V$: \(M = \sum_{\tau=1}^{L} aW_{-\tau}(1+i)^{\tau}, \qquad V = P\sum_{t=0}^{E-1}(1+i)^{-t} = P\cdot v, \qquad P = \frac{M}{v}\)

Prestazione definita: $\;P = k W_p = \beta L W_p$, dove $W_p$ è la retribuzione pensionabile (ultima retribuzione, o media rivalutata delle ultime $T$ / di tutte le retribuzioni).

Il sistema italiano (in breve)

Riforme chiave: Amato 1992, Dini 1995 (contributivo pro-rata), Maroni 2004 (TFR alla previdenza compl.), Fornero 2011 (contributivo per tutti, età legata all'aspettativa di vita). Poi Quota 100/102/103, Opzione Donna, APE. Oggi: sistema a ripartizione + contribuzione definita; vecchiaia a 67 anni con 20 di contributi; vigilanza sulla previdenza pubblica INPS. Criticità: invecchiamento, bassa natalità, aspettativa di vita crescente → riforme parametriche (ridurre pensione pro-capite; ridurre rapporto percettori/contribuenti).

4.3 Previdenza complementare

Rappresenta secondo e terzo pilastro. Serve a integrare il gap dovuto all'indebolimento del primo pilastro. Funziona a capitalizzazione, con prestazione legata ai contributi versati. Offre vantaggi fiscali in ogni fase (deducibilità dei contributi, aliquota agevolata su rendimenti e prestazione finale).

Secondo pilastro (adesione collettiva):

Terzo pilastro (adesione individuale):

Fonti di finanziamento: contributo del lavoratore + contributo del datore + TFR maturando.

Comparti di gestione (scelti in base a orizzonte temporale e propensione al rischio): azionario, bilanciato (azioni + obbligazioni), obbligazionario, garantito (garantisce la restituzione del capitale versato).

Erogazione: rendita vitalizia o parte in capitale + rendimento + benefici fiscali. Vigilanza: COVIP.

Calcolo della prestazione periodica

Si versa $B$ per $L$ periodi (da $t=0$) e si riceve $P$ per $E$ periodi (da $t=L$). Si eguaglia il VA dei versamenti al VA delle prestazioni: \(\nu_L = \left(1+\frac{1}{r}\right)\!\left[1 - \frac{1}{(1+r)^{L-1}}\right], \qquad \nu_E = \left(1+\frac{1}{r}\right)\!\left[1 - \frac{1}{(1+r)^{E-1}}\right]\frac{1}{(1+r)^{L}}\) \(V_L = B\,\nu_L, \qquad V_E = P\,\nu_E, \qquad \boxed{P = \frac{B\,\nu_L}{\nu_E}} \quad\text{oppure}\quad \boxed{B = \frac{P\,\nu_E}{\nu_L}}\)

Esempio: $B=1200$, $L=40$, $r=0.10$, $E=20$. $V_L = 12908.35$; $V_E = 0.2069\,P$; $P = 12908.35 / 0.2069 = 62384.11$. Esempio inverso: rendita desiderata $P=24000$ per $E=20$ da $t=40$, $r=0.10$, $L=40$. $\nu_L = 10.76$; $V_E = 4966.01$; $B = 4966.01 / 10.76 = 461.66$.

4.4 Risorse informali (quarto pilastro)

Meccanismi di supporto non istituzionalizzati che integrano reddito/benessere in vecchiaia, cruciali quando primo e secondo pilastro sono insufficienti. Esempi: supporto familiare, risparmi personali e proprietà (es. casa di proprietà), lavoro informale, comunità/reti sociali/ONG.

I piani di investimento non istituzionalizzati funzionano in modo analogo a un sistema a capitalizzazione: stesse formule di $\nu_L$, $\nu_E$ viste sopra, con $B = \frac{P\,\nu_E}{\nu_L}$.

5. Formulario riassuntivo

Concetti e misure (micro): \(Y_t = A_{t-1}r + W_t, \quad Y_t^D = Y_t - T_t, \quad S_t = Y_t^D - C_t, \quad A_t = A_{t-1} + S_t\)

Macro: \(Y_t = C_t + I_t + G_t + (X_t - M_t), \quad S_t = S_t^{Pr} + (T_t - G_t) = I_t + (X_t - M_t)\) \(D_t = D_{t-1}(1+r) + (G_t - T_t), \quad \frac{D_t}{Y_t} = \frac{D_{t-1}(1+r) + G_t - T_t}{Y_{t-1}(1+g)}\)

Equilibrio del consumatore: $\;u'(q^\ast) = p\,u'(M^\ast)$, $\;C^\ast = pq^\ast$.

Keynes: $\;C_t = \bar C + c\,Y_t^D$, $\;S_t = -\bar C + (1-c)Y_t^D$.

Fisher: $\;C_0 + \frac{C_1}{1+r} = Y_0 + \frac{Y_1}{1+r}$, $\;$ Eulero: $\;u'(C_0^\ast) = (1+r)\beta u'(C_1^\ast)$, $\;S_0 = Y_0 - C_0$.

Modigliani: $\;C_t = \frac{L\,Y^D}{E}$.

Friedman: $\;C_t = b\,\bar Y^D$, $\;Y_t^D = \bar Y^D + \tilde y_t^D$.

Markowitz (2 titoli): \(r_p = x_1r_1 + x_2r_2, \quad \sigma_p^2 = (x_1\sigma_1)^2 + (x_2\sigma_2)^2 + 2x_1x_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2\) \(x_1^m = \frac{\sigma_2^2 - \sigma_{12}}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\sigma_{12}} \quad(\rho=-1:\; x_1^m = \tfrac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2},\; \sigma_p^m=0)\)

Markowitz (scelta ottimale): $\;U = r_p - \frac{\gamma}{2}\sigma_p^2$; $\;A=r^T\Sigma^{-1}r$, $B=r^T\Sigma^{-1}\iota$, $C=\iota^T\Sigma^{-1}\iota$; $\;k = \frac{AC-B^2}{C\gamma}+\frac{B}{C}$.

Pensioni (equilibrio):

  Contribuzione definita Prestazione definita
Capitalizzazione $i=r$; TS $=a(1+r)$ $a=\frac{k}{1+r}$; TS $=k$
Ripartizione $i=g$; TS $=a(1+g)$ $a=\frac{k}{1+g}$; TS $=k$

Previdenza complementare: $\;P = \frac{B\,\nu_L}{\nu_E}$, con $\nu_L, \nu_E$ definiti sopra.

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