Analisi 1 → Analisi 2: ripasso essenziale

Ripasso mirato dei prerequisiti di Analisi 1, organizzato in funzione del programma di Analisi 2: successioni e serie, teoria della misura e integrazione, calcolo differenziale in più variabili, ottimizzazione libera, integrali doppi, equazioni differenziali ordinarie.

Mappa: cosa serve per cosa

Argomento di Analisi 2	Prerequisiti di Analisi 1
Successioni e serie numeriche	Successioni, limiti, criteri di convergenza
Teoria della misura e integrazione	Integrale di Riemann, sup/inf, completezza di $\mathbb{R}$
Calcolo differenziale in più variabili	Derivate, regole, Taylor, continuità
Ottimizzazione libera	Estremi locali, test derivata seconda, convessità
Formula di riduzione (integrali doppi)	Integrale di Riemann, tecniche di integrazione
EDO (separabili, lineari 2° ordine)	Primitive, tecniche di integrazione, numeri complessi

1. Numeri reali, estremo superiore e inferiore

$\mathbb{R}$ è un campo ordinato completo. La completezza è ciò che distingue $\mathbb{R}$ da $\mathbb{Q}$ ed è alla radice di tutti i teoremi di convergenza.

Maggioranti e minoranti. $M$ è un maggiorante di $A \subseteq \mathbb{R}$ se $x \le M$ per ogni $x \in A$.

Estremo superiore. $s = \sup A$ è il più piccolo dei maggioranti. Caratterizzazione operativa:

\[s = \sup A \iff \begin{cases} x \le s & \forall x \in A \\ \forall \varepsilon > 0 \ \exists x \in A : x > s - \varepsilon \end{cases}\]

Analogamente $\inf A$ è il più grande dei minoranti.

Assioma di completezza. Ogni sottoinsieme di $\mathbb{R}$ non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore in $\mathbb{R}$.

Serve per: convergenza di successioni monotone, integrale di Riemann (sup/inf delle somme), e come idea-guida per la costruzione della misura.

2. Successioni numeriche

Limite (definizione $\varepsilon$–$N$).

\[\lim_{n \to \infty} a_n = \ell \iff \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : n > N \Rightarrow |a_n - \ell| < \varepsilon\]

Teorema (monotonia + limitatezza). Se $(a_n)$ è monotona e limitata, allora converge; se crescente $\lim a_n = \sup_n a_n$, se decrescente $\lim a_n = \inf_n a_n$.

Algebra dei limiti. Se $a_n \to a$ e $b_n \to b$ (finiti):

\[a_n \pm b_n \to a \pm b, \qquad a_n b_n \to ab, \qquad \frac{a_n}{b_n} \to \frac{a}{b}\ (b \neq 0)\]

Forme indeterminate: $\infty - \infty,\ 0 \cdot \infty,\ \frac{0}{0},\ \frac{\infty}{\infty},\ 1^\infty,\ 0^0,\ \infty^0$.

Teorema del confronto (dei carabinieri). Se $a_n \le c_n \le b_n$ definitivamente e $a_n, b_n \to \ell$, allora $c_n \to \ell$.

Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti. Per $n \to \infty$, con $a>1$, $\alpha>0$:

\[\log n \ll n^\alpha \ll a^n \ll n! \ll n^n\] \[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \qquad \sqrt[n]{n} \to 1, \qquad \sqrt[n]{a} \to 1\]

Sottosuccessioni e Bolzano–Weierstrass. Ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente.

Criterio di Cauchy. $(a_n)$ converge $\iff$ è di Cauchy: $\forall \varepsilon>0\ \exists N: n,m>N \Rightarrow

a_n - a_m

< \varepsilon$.

Serve per: le serie sono per definizione limiti di successioni (le somme parziali). Tutto ciò che segue poggia qui.

3. Serie numeriche (ponte verso Analisi 2)

Sviluppate a fondo nel corso, ma è la naturale continuazione delle successioni: la serie $\sum_{n} a_n$ è il limite delle somme parziali $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$.

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N \to \infty} S_N\]

Serie di riferimento.

\[\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \quad (|q|<1) \qquad \text{(geometrica)}\] \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha} \quad \text{converge} \iff \alpha > 1 \qquad \text{(armonica generalizzata)}\]

Condizione necessaria. Se $\sum a_n$ converge allora $a_n \to 0$ (non sufficiente: l'armonica $\sum 1/n$ diverge pur avendo $a_n \to 0$).

Criteri (per serie a termini positivi).

Confronto: $0 \le a_n \le b_n$; se $\sum b_n$ converge, converge $\sum a_n$.
Confronto asintotico: se $a_n \sim b_n$ (cioè $a_n/b_n \to 1$), hanno lo stesso carattere.
Rapporto: $L = \lim \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$; converge se $L<1$, diverge se $L>1$.
Radice: $L = \lim \sqrt[n]{a_n}$; converge se $L<1$, diverge se $L>1$.
Integrale: con $f$ positiva decrescente, $\sum f(n)$ e $\int_1^\infty f$ hanno lo stesso carattere.

Serie a segni alterni — Leibniz. Se $b_n \ge 0$ è decrescente e $b_n \to 0$, allora $\sum (-1)^n b_n$ converge.

Convergenza assoluta. Se $\sum |a_n|$ converge, allora $\sum a_n$ converge (non viceversa).

Serve per: è letteralmente il primo blocco del tuo programma. In più le serie di potenze e Fourier che incontrerai poggiano su questi criteri.

4. Limiti di funzioni e continuità

Continuità. $f$ è continua in $x_0$ se $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Teoremi fondamentali su $[a,b]$ (compatto):

Weierstrass: $f$ continua su $[a,b]$ è limitata e assume massimo e minimo.
Valori intermedi (Bolzano): $f$ continua su $[a,b]$ assume ogni valore tra $f(a)$ e $f(b)$.
Zeri: se $f(a)f(b) < 0$ e $f$ continua, esiste $c \in (a,b)$ con $f(c)=0$.

Serve per: la continuità di funzioni di più variabili generalizza questa; il teorema di Weierstrass è la garanzia di esistenza del massimo/minimo su cui si fonda l'ottimizzazione.

5. Calcolo differenziale in una variabile

Derivata.

\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\]

Interpretazione: coefficiente angolare della retta tangente. La retta tangente è $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$.

Derivabilità $\Rightarrow$ continuità (non viceversa: es. $|x|$ in $0$).

Regole di derivazione.

\[(fg)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \qquad (f \circ g)'(x) = f'(g(x))\, g'(x)\]

Derivate notevoli.

$f(x)$	$f'(x)$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$1/x$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$1/\cos^2 x = 1 + \tan^2 x$
$\arctan x$	$1/(1+x^2)$
$\arcsin x$	$1/\sqrt{1-x^2}$

Teoremi del valor medio.

Fermat: in un estremo interno con $f$ derivabile, $f'(x_0) = 0$.
Rolle: $f$ continua su $[a,b]$, derivabile in $(a,b)$, $f(a)=f(b)$ $\Rightarrow \exists c: f'(c)=0$.
Lagrange: $\exists c \in (a,b): f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Cauchy: $\dfrac{f'(c)}{g'(c)} = \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$.

De l'Hôpital. Nelle forme $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$: $\lim \dfrac{f}{g} = \lim \dfrac{f'}{g'}$ (se il secondo esiste).

Serve per: le derivate parziali e il gradiente sono derivate "una direzione alla volta"; i punti critici in più variabili generalizzano Fermat ($\nabla f = 0$).

6. Formula di Taylor

Polinomio di Taylor con resto di Peano (centro $x_0$):

\[f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + o\big((x-x_0)^n\big)\]

Resto di Lagrange: esiste $\xi$ tra $x_0$ e $x$ tale che il resto è $\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$.

Sviluppi notevoli in $x_0 = 0$ (di McLaurin):

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\] \[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \qquad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\] \[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \qquad \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n\] \[(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \binom{\alpha}{2} x^2 + \cdots \qquad \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots\]

Serve per: la formula di Taylor in più variabili usa gradiente e matrice hessiana; è lo strumento che classifica i punti critici (sezione 7 in versione multivariabile).

7. Estremi e convessità (precursore diretto dell'ottimizzazione)

Monotonia dal segno della derivata. Su un intervallo: $f' \ge 0 \Rightarrow f$ crescente; $f' \le 0 \Rightarrow f$ decrescente.

Estremi locali.

Condizione necessaria (Fermat): se $x_0$ interno è estremo e $f$ derivabile, allora $f'(x_0) = 0$ (punto critico).
Test della derivata seconda: se $f'(x_0) = 0$, allora

\[f''(x_0) > 0 \Rightarrow \text{minimo locale}, \qquad f''(x_0) < 0 \Rightarrow \text{massimo locale}\]

(se $f'' (x_0)=0$ il test è inconcludente).

Convessità. $f$ è convessa $\iff f'' \ge 0$; concava $\iff f'' \le 0$. Un punto dove la concavità cambia è un flesso.

Serve per: l'ottimizzazione libera in più variabili è la trasposizione esatta di questa sezione — $f'(x_0)=0$ diventa $\nabla f = 0$, e il segno di $f''$ diventa il segno della matrice hessiana (definita positiva → minimo, definita negativa → massimo, indefinita → sella).

8. Integrale di Riemann

Definizione (somme di Darboux). Data una partizione di $[a,b]$, si costruiscono somme inferiori $s(P)$ (con gli inf su ogni sottointervallo) e superiori $S(P)$ (con i sup). $f$ è integrabile se

\[\sup_P s(P) = \inf_P S(P) =: \int_a^b f(x)\, dx\]

Classi integrabili. Le funzioni continue su $[a,b]$ sono integrabili; anche le monotone e le continue a tratti lo sono.

Proprietà.

\[\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g \quad \text{(linearità)}\] \[\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f \quad \text{(additività)}, \qquad f \le g \Rightarrow \int_a^b f \le \int_a^b g \quad \text{(monotonia)}\]

Teorema della media integrale. Se $f$ è continua, esiste $c \in [a,b]$ con

\[\int_a^b f(x)\, dx = f(c)\,(b-a)\]

Teorema fondamentale del calcolo.

Parte I: se $f$ è continua, $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ è derivabile e $F'(x) = f(x)$.
Parte II: se $G$ è una primitiva di $f$, allora $\displaystyle \int_a^b f(x)\, dx = G(b) - G(a)$.

Serve per: la teoria della misura generalizza l'idea di "area sotto il grafico"; la formula di riduzione per gli integrali doppi consiste nel calcolare un integrale semplice alla volta, quindi tutto ciò che qui impari si applica direttamente.

9. Tecniche di integrazione (calcolo delle primitive)

Primitive immediate.

\[\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \ (n \neq -1), \qquad \int \frac{1}{x}\, dx = \ln|x| + C\] \[\int e^x \, dx = e^x + C, \qquad \int \frac{1}{1+x^2}\, dx = \arctan x + C\]

Integrazione per sostituzione.

\[\int f(g(x))\, g'(x)\, dx = \int f(u)\, du \quad (u = g(x))\]

Integrazione per parti.

\[\int f(x)\, g'(x)\, dx = f(x)\, g(x) - \int f'(x)\, g(x)\, dx\]

Funzioni razionali (fratti semplici). Si scompone $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ (con $\deg P < \deg Q$) in somma di termini del tipo $\dfrac{A}{(x-a)^k}$ e $\dfrac{Bx+C}{(x^2+px+q)^k}$, integrabili singolarmente.

Serve per: è il cuore operativo della risoluzione delle EDO separabili e lineari, e del calcolo effettivo degli integrali doppi. Vale la pena averlo davvero in mano.

10. Ponte verso le EDO

Il tuo programma chiude con equazioni separabili e lineari del 2° ordine: ecco i due tasselli che li rendono immediati.

EDO a variabili separabili. $y' = f(x)\, g(y)$ si risolve separando e integrando:

\[\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\, dx\]

Ecco perché la sezione 9 è indispensabile: risolvere un'EDO separabile è calcolare due primitive.

EDO lineari 2° ordine a coefficienti costanti (omogenee): $a y'' + b y' + c y = 0$. Si cerca $y = e^{\lambda x}$ e si arriva all'equazione caratteristica

\[a \lambda^2 + b \lambda + c = 0\]

Tre casi secondo il discriminante:

Radici	Soluzione generale
Reali distinte $\lambda_1 \neq \lambda_2$	$y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x}$
Reale doppia $\lambda$	$y = (c_1 + c_2 x)\, e^{\lambda x}$
Complesse $\alpha \pm i\beta$	$y = e^{\alpha x}(c_1 \cos \beta x + c_2 \sin \beta x)$

Numeri complessi ed Eulero (per il caso complesso):

\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \qquad \Rightarrow \qquad e^{(\alpha + i\beta)x} = e^{\alpha x}\big(\cos\beta x + i \sin\beta x\big)\]

Serve per: risolvere le radici complesse dell'equazione caratteristica e capire da dove vengono seno e coseno nella soluzione.

Appendice: formulario compatto

Limiti notevoli (per $x \to 0$).

\[\frac{\sin x}{x} \to 1, \qquad \frac{1 - \cos x}{x^2} \to \frac{1}{2}, \qquad \frac{e^x - 1}{x} \to 1, \qquad \frac{\ln(1+x)}{x} \to 1\]

Serie di riferimento.

\[\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}\ (|q|<1), \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}: \text{converge} \iff \alpha > 1\]

Le due formule "motore" delle EDO.

\[\text{separabili: } \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\, dx \qquad\quad \text{lineari: } a\lambda^2 + b\lambda + c = 0\]